고등수학 미적분 개념 및 공식3(부정적분, 정적분, 정적분의 정의, 구분구적법, 부분적분 및 치환적분)

고등학교 수학 과정에서 배우는 모든 적분법을 공식별로 체계적이고 자세하게 정리해드릴게요.
정적분과 부정적분의 기본 개념부터 공식, 치환적분, 부분적분까지 완전 정리입니다.

 

이것을 이해하기 어려우신 분들은 아래에 이전강좌 링크를 타시고 기초를 쌓고 오십셔

 

고등수학 미적분 개념 및 공식2(도함수의 정의, 여러가지 미분법)

 

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고등수학 확률과 통계 개념 및 공식

 

 

 

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📘 고등수학 적분법 총정리

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🔷 1. 적분의 기본 개념

✅ 부정적분 (Indefinite Integral)

• 미분의 역과정
• 결과에 항상 상수 +C+ C+C 포함됨

∫f(x) dx=F(x)+C(단, F′(x)=f(x))\int f(x) \, dx = F(x) + C \quad \text{(단, } F'(x) = f(x) \text{)}∫f(x)dx=F(x)+C(단, F′(x)=f(x))

✅ 정적분 (Definite Integral)

• 구간 [a, b]에서의 면적 계산

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)(단, F′(x)=f(x))\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \quad \text{(단, } F'(x) = f(x) \text{)}∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)(단, F′(x)=f(x))

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🔷 2. 기본 부정적분 공식

함수적분 결과

∫xn dx\int x^n \, dx∫xndx	xn+1n+1+C\frac{x^{n+1}}{n+1} + Cn+1xn+1​+C (단, n≠−1n \ne -1n=−1)
∫1x dx\int \frac{1}{x} \, dx∫x1​dx	( \ln
∫ex dx\int e^x \, dx∫exdx	ex+Ce^x + Cex+C
∫ax dx\int a^x \, dx∫axdx	axln⁡a+C\frac{a^x}{\ln a} + Clnaax​+C
∫sin⁡x dx\int \sin x \, dx∫sinxdx	−cos⁡x+C-\cos x + C−cosx+C
∫cos⁡x dx\int \cos x \, dx∫cosxdx	sin⁡x+C\sin x + Csinx+C
∫sec⁡2x dx\int \sec^2 x \, dx∫sec2xdx	tan⁡x+C\tan x + Ctanx+C
∫csc⁡2x dx\int \csc^2 x \, dx∫csc2xdx	−cot⁡x+C-\cot x + C−cotx+C
∫sec⁡xtan⁡x dx\int \sec x \tan x \, dx∫secxtanxdx	sec⁡x+C\sec x + Csecx+C
∫csc⁡xcot⁡x dx\int \csc x \cot x \, dx∫cscxcotxdx	−csc⁡x+C-\csc x + C−cscx+C

 

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🔷 3. 정적분의 성질

✅ 기본 성질

1. 선형성

∫ab[cf(x)+dg(x)] dx=c∫abf(x) dx+d∫abg(x) dx\int_a^b [cf(x) + dg(x)]\,dx = c\int_a^b f(x)\,dx + d\int_a^b g(x)\,dx∫ab​[cf(x)+dg(x)]dx=c∫ab​f(x)dx+d∫ab​g(x)dx

1. 구간 분할

∫acf(x) dx=∫abf(x) dx+∫bcf(x) dx\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx∫ac​f(x)dx=∫ab​f(x)dx+∫bc​f(x)dx

1. 구간 반전

∫baf(x) dx=−∫abf(x) dx\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx∫ba​f(x)dx=−∫ab​f(x)dx

1. 같은 상한과 하한

∫aaf(x) dx=0\int_a^a f(x)\,dx = 0∫aa​f(x)dx=0

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🔷 4. 치환적분법 (변수 치환)

미분과 합성함수의 관계를 이용하여 복잡한 적분을 간단히 바꾸는 방법

✅ 공식

∫f(g(x))g′(x) dx=∫f(u) du(단, u=g(x))\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du \quad (\text{단, } u = g(x))∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(u)du(단, u=g(x))

✅ 예시:

∫2x⋅cos⁡(x2) dx(치환: u=x2,du=2x dx)⇒∫cos⁡(u) du=sin⁡u+C=sin⁡(x2)+C\int 2x \cdot \cos(x^2)\,dx \quad \text{(치환: } u = x^2, du = 2x\,dx) \Rightarrow \int \cos(u)\,du = \sin u + C = \sin(x^2) + C∫2x⋅cos(x2)dx(치환: u=x2,du=2xdx)⇒∫cos(u)du=sinu+C=sin(x2)+C

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🔷 5. 부분적분법

곱의 미분의 역과정. 두 함수의 곱을 적분할 때 사용.

✅ 공식

∫u dv=uv−∫v du\int u \, dv = uv - \int v \, du∫udv=uv−∫vdu

✅ 예시:

∫xex dx(u=x,dv=exdx)⇒uv−∫v du=xex−∫exdx=xex−ex+C\int x e^x \, dx \quad (u = x, dv = e^x dx) \Rightarrow uv - \int v \, du = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C∫xexdx(u=x,dv=exdx)⇒uv−∫vdu=xex−∫exdx=xex−ex+C

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🔷 6. 특수 함수 적분 예시

함수적분 결과

∫11+x2 dx\int \frac{1}{1+x^2} \, dx∫1+x21​dx	tan⁡−1x+C\tan^{-1} x + Ctan−1x+C
∫11−x2 dx\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx∫1−x2​1​dx	sin⁡−1x+C\sin^{-1} x + Csin−1x+C
∫11+x2 dx\int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx∫1+x2​1​dx	sinh⁡−1x+C\sinh^{-1} x + Csinh−1x+C (고등수학에선 드뭄)

 

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🔷 7. 도형과 면적 문제에서 적분

• 정적분은 x축 아래쪽 면적은 음수로 나옴.
• 전체 넓이를 구하려면 구간을 나누어 절댓값을 취해야 함.

✅ 예시:

면적=∫acf(x) dx−∫cbf(x) dx(또는 절댓값을 취함)\text{면적} = \int_a^c f(x)\,dx - \int_c^b f(x)\,dx \quad \text{(또는 절댓값을 취함)}면적=∫ac​f(x)dx−∫cb​f(x)dx(또는 절댓값을 취함)

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🔷 8. 고등학교 적분 공략 요약

분류공식 요약

기본적분	거듭제곱, 삼각함수, 로그, 지수 함수
정적분	면적 구하기, 성질 활용
치환적분	합성함수 형태 → 변수 바꾸기
부분적분	곱 형태 → 한 쪽은 미분, 다른 쪽은 적분
그래프 응용	두 함수 사이 면적, 회전체 부피 등