고등수학 미적분 개념 및 공식2(도함수의 정의, 여러가지 미분법)

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고등수학 미적분 개념 및 공식3(부정적분, 정적분, 정적분의 정의, 구분구적법, 부분적분 및 치환

 

 

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고등수학 미적분 개념 및 공식1(배각의 공식, 반각의 공식, 삼각함수의 덧셈정리)

 

ㅡ도함수의 정의ㅡ

 

🔷 1. 도함수란 무엇인가요?
도함수는 어떤 함수의 변화율을 나타내는 새로운 함수입니다.

쉽게 말해서:

어떤 함수 f(x)f(x)f(x)가 있을 때, 그 함수가 xxx에 따라 얼마나 빠르게 변하고 있는지를 나타내는 함수가 바로 도함수입니다.

🔷 2. 정의(Definition) – 도함수의 공식
어떤 함수 f(x)f(x)f(x)의 도함수 f′(x)f'(x)f′(x)는 다음과 같이 정의됩니다:

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}f′(x)=h→0lim​hf(x+h)−f(x)​

이 식을 미분의 정의라고 부릅니다.

🔷 3. 이 식이 의미하는 바는?
f(x+h)f(x + h)f(x+h): xxx에서 아주 조금 더한 지점에서의 함수값
f(x)f(x)f(x): 원래 지점에서의 함수값
f(x+h)−f(x)h\frac{f(x + h) - f(x)}{h}hf(x+h)−f(x)​: 두 점 사이의 평균 변화율 (기울기)
lim⁡h→0\lim_{h \to 0}limh→0​: hhh를 아주 작게 만들면서 극한을 취한다는 뜻
즉,

어떤 점에서의 **순간 변화율(=기울기)**을 극한의 개념으로 정의한 것이 도함수입니다.

🔷 4. 실제 예시
함수 f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2의 도함수를 정의에 따라 구해보면:

f′(x)=lim⁡h→0(x+h)2−x2h=lim⁡h→0x2+2xh+h2−x2h=lim⁡h→02xh+h2h=lim⁡h→0(2x+h)=2xf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2xf′(x)=h→0lim​h(x+h)2−x2​=h→0lim​hx2+2xh+h2−x2​=h→0lim​h2xh+h2​=h→0lim​(2x+h)=2x

즉, f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2의 도함수는 f′(x)=2xf'(x) = 2xf′(x)=2x입니다.

🔷 5. 도함수의 의미 요약
함수의 **기울기(변화율)**를 표현한 것
원래 함수의 미분 결과
기하학적으로는 곡선 위의 한 점에서의 접선의 기울기
물리적으로는 속도, 가속도 등을 나타냄 (예: 위치 함수의 도함수는 속도)
🔷 6. 도함수를 어떻게 읽나요?
f′(x)f'(x)f′(x): "에프 프라임 엑스"
dfdx\frac{df}{dx}dxdf​: "디에프 디엑스" (Leibniz 표기법)
두 표기법은 같은 의미입니다.

 

ㅡ여러가지 미분법(곱의 미분법, 합성함수의 미분법, 역함수의 미분법)ㅡ

 

📘 고등수학 미분법 총정리

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🔷 1. 기본 미분 공식

함수도함수 (미분결과)비고

f(x)=cf(x) = cf(x)=c	f′(x)=0f'(x) = 0f′(x)=0	상수함수
f(x)=xf(x) = xf(x)=x	f′(x)=1f'(x) = 1f′(x)=1	기본함수
f(x)=xnf(x) = x^nf(x)=xn	f′(x)=nxn−1f'(x) = nx^{n-1}f′(x)=nxn−1	거듭제곱 함수
f(x)=x=x1/2f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}f(x)=x​=x1/2	f′(x)=12xf'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}f′(x)=2x​1​	무리함수도 가능
f(x)=1x=x−1f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}f(x)=x1​=x−1	f′(x)=−1x2f'(x) = -\frac{1}{x^2}f′(x)=−x21​	역수형 함수

 

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🔷 2. 지수와 로그 함수의 미분

함수도함수

exe^xex	exe^xex
axa^xax	axln⁡aa^x \ln aaxlna
ln⁡x\ln xlnx	1x\frac{1}{x}x1​
log⁡ax\log_a xloga​x	1xln⁡a\frac{1}{x \ln a}xlna1​

 

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🔷 3. 삼각함수의 미분

함수도함수

sin⁡x\sin xsinx	cos⁡x\cos xcosx
cos⁡x\cos xcosx	−sin⁡x-\sin x−sinx
tan⁡x\tan xtanx	sec⁡2x\sec^2 xsec2x

 

※ 정의역 주의: tan⁡x\tan xtanx는 x=π2+nπx = \frac{\pi}{2} + n\pix=2π​+nπ에서는 정의 안 됨

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🔷 4. 곱의 미분법 (Product Rule)

f(x)=u(x)⋅v(x)f(x) = u(x) \cdot v(x)f(x)=u(x)⋅v(x) 이면,

f′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)f′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)

✅ 예시: f(x)=x⋅sin⁡xf(x) = x \cdot \sin xf(x)=x⋅sinx

f′(x)=1⋅sin⁡x+x⋅cos⁡x=sin⁡x+xcos⁡xf'(x) = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos xf′(x)=1⋅sinx+x⋅cosx=sinx+xcosx

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🔷 5. 몫의 미분법 (Quotient Rule)

f(x)=u(x)v(x)f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}f(x)=v(x)u(x)​ 이면,

f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)[v(x)]2f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}f′(x)=[v(x)]2u′(x)v(x)−u(x)v′(x)​

✅ 예시: f(x)=xsin⁡xf(x) = \frac{x}{\sin x}f(x)=sinxx​

f′(x)=1⋅sin⁡x−x⋅cos⁡xsin⁡2xf'(x) = \frac{1 \cdot \sin x - x \cdot \cos x}{\sin^2 x}f′(x)=sin2x1⋅sinx−x⋅cosx​

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🔷 6. 합성 함수의 미분 (Chain Rule)

f(x)=g(h(x))f(x) = g(h(x))f(x)=g(h(x)) 형태이면,

f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)

✅ 예시: f(x)=sin⁡(x2)f(x) = \sin(x^2)f(x)=sin(x2)

f′(x)=cos⁡(x2)⋅2xf'(x) = \cos(x^2) \cdot 2xf′(x)=cos(x2)⋅2x

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🔷 7. 역함수 미분법

y=f−1(x)y = f^{-1}(x)y=f−1(x) 이면,

dydx=1f′(y)\frac{dy}{dx} = \frac{1}{f'(y)}dxdy​=f′(y)1​

✅ 예시: f(x)=ex⇒f−1(x)=ln⁡xf(x) = e^x \Rightarrow f^{-1}(x) = \ln xf(x)=ex⇒f−1(x)=lnx

ddx[ln⁡x]=1eln⁡x=1x\frac{d}{dx}[\ln x] = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac{1}{x}dxd​[lnx]=elnx1​=x1​

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🔷 8. 고차 미분 (2차 도함수, 3차 도함수 등)

• f′′(x)=ddx(f′(x))f''(x) = \frac{d}{dx}(f'(x))f′′(x)=dxd​(f′(x))
• f(n)(x)f^{(n)}(x)f(n)(x): nnn차 도함수

✅ 예시: f(x)=x3f(x) = x^3f(x)=x3

f′(x)=3x2,f′′(x)=6x,f(3)(x)=6f'(x) = 3x^2,\quad f''(x) = 6x,\quad f^{(3)}(x) = 6f′(x)=3x2,f′′(x)=6x,f(3)(x)=6

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🔷 9. 매개변수 함수의 미분

• x=x(t), y=y(t)x = x(t),\ y = y(t)x=x(t), y=y(t)일 때,

dydx=dydtdxdt\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}dxdy​=dtdx​dtdy​​

✅ 예시:
x=t2, y=t3⇒dydx=3t22t=3t2x = t^2,\ y = t^3 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}x=t2, y=t3⇒dxdy​=2t3t2​=23t​

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🔷 10. 암기용 요약표 (정리용)

함수미분 결과

xnx^nxn	nxn−1nx^{n-1}nxn−1
exe^xex	exe^xex
axa^xax	axln⁡aa^x \ln aaxlna
ln⁡x\ln xlnx	1x\frac{1}{x}x1​
sin⁡x\sin xsinx	cos⁡x\cos xcosx
cos⁡x\cos xcosx	−sin⁡x-\sin x−sinx
tan⁡x\tan xtanx	sec⁡2x\sec^2 xsec2x
f⋅gf \cdot gf⋅g	f′g+fg′f'g + fg'f′g+fg′
fg\frac{f}{g}gf​	f′g−fg′g2\frac{f'g - fg'}{g^2}g2f′g−fg′​
f(g(x))f(g(x))f(g(x))	f′(g(x))⋅g′(x)f'(g(x)) \cdot g'(x)f′(g(x))⋅g′(x)

 

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🔷 11. 실전에서 자주 나오는 미분 조합 예시

• f(x)=ln⁡(sin⁡x)f(x) = \ln(\sin x)f(x)=ln(sinx) →
  f′(x)=1sin⁡x⋅cos⁡x=cot⁡xf'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot xf′(x)=sinx1​⋅cosx=cotx
• f(x)=1+x2f(x) = \sqrt{1 + x^2}f(x)=1+x2​ →
  f′(x)=121+x2⋅2x=x1+x2f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}f′(x)=21+x2​1​⋅2x=1+x2​x​
• f(x)=exx2f(x) = \frac{e^x}{x^2}f(x)=x2ex​ →
  몫의 미분법 사용