고등수학 기하와 벡터 개념 및 공식

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고등수학 확률과 통계 개념 및 공식

 

 

수능 수학에서 기하와 벡터는 선택 과목 중 하나로, 도형의 성질과 벡터 개념을 바탕으로 문제를 해결하는 과목입니다. 아래에 기하와 벡터의 전체 개념과 공식을 단원별로 체계적이고 자세하게 정리해드릴게요.

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📐 Ⅰ. 이차곡선

1. 원의 방정식

• 중심이 (a, b), 반지름 r인 원
  (x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2(x−a)2+(y−b)2=r2
• 중심이 원점일 때
  x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2x2+y2=r2
• 직선과 원의 위치 관계
  • 거리 ddd와 반지름 rrr 비교
    • d<rd < rd<r: 교점 2개
    • d=rd = rd=r: 접점 1개
    • d>rd > rd>r: 교점 없음

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2. 포물선, 타원, 쌍곡선

✔ 포물선

• 기준: 초점이 (a,0)(a, 0)(a,0), 준선이 x=−ax = -ax=−a
  y2=4axy^2 = 4axy2=4ax

✔ 타원

• 중심이 원점이고 장축이 x축인 경우
  x2a2+y2b2=1   (a>b)\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\ \ \ (a > b)a2x2​+b2y2​=1   (a>b)
• 초점은 x축 위에: (±c,0)(±c, 0)(±c,0), where c=a2−b2c = \sqrt{a^2 - b^2}c=a2−b2​

✔ 쌍곡선

• 중심이 원점이고 x축 기준이면
  x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1a2x2​−b2y2​=1
• 초점은 x축 위에: (±c,0)(±c, 0)(±c,0), where c=a2+b2c = \sqrt{a^2 + b^2}c=a2+b2​

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📏 Ⅱ. 평면벡터

1. 벡터의 기본

• 벡터 a⃗=⟨a1,a2⟩\vec{a} = \langle a_1, a_2 \ranglea=⟨a1​,a2​⟩
• 크기: ∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}∣a∣=a12​+a22​​

2. 벡터의 연산

• 덧셈: a⃗+b⃗=⟨a1+b1,a2+b2⟩\vec{a} + \vec{b} = \langle a_1 + b_1, a_2 + b_2 \ranglea+b=⟨a1​+b1​,a2​+b2​⟩
• 스칼라배: ka⃗=⟨ka1,ka2⟩k\vec{a} = \langle ka_1, ka_2 \rangleka=⟨ka1​,ka2​⟩

3. 내적 (스칼라곱)

• 공식:
  a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\thetaa⋅b=a1​b1​+a2​b2​=∣a∣∣b∣cosθ
• 직각 판단: a⃗⋅b⃗=0⇒수직\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow \text{수직}a⋅b=0⇒수직

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🔼 Ⅲ. 공간도형

1. 입체도형의 성질

• 정사면체: 면 4개, 꼭짓점 4개, 모서리 6개
• 정육면체: 면 6개, 꼭짓점 8개, 모서리 12개

2. 구의 방정식

• 중심이 (a, b, c), 반지름 r
  (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2

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🧭 Ⅳ. 공간벡터

1. 공간 벡터의 표현

• a⃗=⟨a1,a2,a3⟩\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \ranglea=⟨a1​,a2​,a3​⟩
• 크기: ∣a⃗∣=a12+a22+a32|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}∣a∣=a12​+a22​+a32​​

2. 공간 벡터의 내적

• a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3a⋅b=a1​b1​+a2​b2​+a3​b3​

3. 두 벡터의 수직 관계

• a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0a⋅b=0이면 수직

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📌 Ⅴ. 평면과 직선

1. 직선의 벡터 방정식

• 점 a⃗\vec{a}a를 지나고 방향 벡터 d⃗\vec{d}d일 때
  r⃗=a⃗+td⃗\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d} r=a+td

2. 평면의 방정식

• 점 (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0)(x0​,y0​,z0​)을 지나고 법선벡터 n⃗=⟨a,b,c⟩\vec{n} = \langle a, b, c \ranglen=⟨a,b,c⟩일 때
  a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0a(x−x0​)+b(y−y0​)+c(z−z0​)=0

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✅ 자주 쓰이는 기하와 벡터 개념 정리

개념공식 또는 조건

벡터 내적	( \vec{a} \cdot \vec{b} =
직각 조건	a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0a⋅b=0
삼각형 넓이 (벡터 이용)	( \frac{1}{2}
직선의 방향벡터	직선 위 두 점의 차 벡터
구의 중심	방정식에서 완전제곱식으로 정리

 

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📘 기출에서 자주 나오는 포인트

1. 벡터를 이용한 거리 계산 (점과 직선 사이 거리, 점과 평면 사이 거리)
2. 입체도형 내에서의 공간 감각 문제 (정사면체, 정육면체)
3. 벡터 내적을 활용한 직각 조건
4. 이차곡선의 교점 개수 판단
5. 공간벡터의 연립 방정식 해 구하기