고등수학 미적분 개념 및 공식1(배각의 공식, 반각의 공식, 삼각함수의 덧셈정리)

ㅠ 파이. 초등학교때 각도기 180도를 지금은 파이라고 부릅니다. 이것을 알고 계신 분들은 다음 강좌인 고등수학 미적분 개념 및 공식2 페이지로 이동 도와드리겠습니다

고등수학 미적분 개념 및 공식2(도함수의 정의, 여러가지 미분법)

ㅡ도함수의 정의ㅡ 🔷 1. 도함수란 무엇인가요? 도함수는 어떤 함수의 변화율을 나타내는 새로운 함수입니다. 쉽게 말해서: 어떤 함수 f(x)f(x)f(x)가 있을 때, 그 함수가 xxx에 따라 얼마나 빠르게

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하지만 기초가 부족하다 싶으시면 아래를 클릭해서 이전레벨 게시물을 보시길...

중학수학 공식집(공사중)

ㅡ1차방정식의 기본 형태ㅡ ax+b= 0 ㅡ2차방정식의 기본 형태ㅡ ax^2+bx+c= 0 ㅡ근의 공식ㅡ {-b+root(-b^2-4ac)}/2a

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ㅡ배각의 공식ㅡ

배각 공식은 각을 2배로 한 삼각함수 값을 간단히 표현하는 공식으로, 삼각함수의 계산과 증명, 미적분 등에서 자주 사용됩니다.

🔷 1. 배각 공식이란?

어떤 각을 2배 했을 때의 삼각함수 값을, 기존 각에 대한 식으로 바꿔주는 공식입니다.

예를 들어,
sin⁡(2θ),cos⁡(2θ),tan⁡(2θ)\sin(2\theta), \cos(2\theta), \tan(2\theta) 등을
sin⁡θ,cos⁡θ,tan⁡θ\sin \theta, \cos \theta, \tan \theta로 표현하는 거예요.

🔷 2. 배각 공식의 기본 형태

아래는 세 가지 기본 삼각함수의 배각 공식입니다.

✅ 사인 배각 공식

sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta

✅ 코사인 배각 공식

cos⁡(2θ)=cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta

이것을 변형하면 두 가지 추가 형태가 나옵니다:

=2cos⁡2θ−1(→ sin⁡2θ=1−cos⁡2θ 대입)= 2\cos^2 \theta - 1 \quad \text{(→ \(\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta\) 대입)} =1−2sin⁡2θ(→ cos⁡2θ=1−sin⁡2θ 대입)= 1 - 2\sin^2 \theta \quad \text{(→ \(\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta\) 대입)}

✅ 탄젠트 배각 공식

tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ(tan⁡θ≠±1)\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} \quad (\tan \theta \ne \pm 1)

🔷 3. 유도 과정 (기본 덧셈정리 이용)

예) sin⁡(2θ)\sin(2\theta) 유도

덧셈 공식:

sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b

여기서 a=b=θa = b = \theta 라고 하면,

sin⁡(2θ)=sin⁡θcos⁡θ+cos⁡θsin⁡θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = \sin \theta \cos \theta + \cos \theta \sin \theta = 2 \sin \theta \cos \theta

다른 식들도 덧셈정리에서 똑같이 유도할 수 있어요.

🔷 4. 예제

📌 예제 1: sin⁡(2x)\sin(2x) 구하기

만약 sin⁡x=35,cos⁡x=45\sin x = \frac{3}{5}, \cos x = \frac{4}{5} 라면,

sin⁡(2x)=2⋅35⋅45=2425\sin(2x) = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}

📌 예제 2: cos⁡(2x)\cos(2x) 계산하기

같은 조건에서,

cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x=(45)2−(35)2=16−925=725\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16 - 9}{25} = \frac{7}{25}

🔷 5. 배각 공식 요약표

함수공식변형형태

sin⁡(2θ)\sin(2\theta)	2sin⁡θcos⁡θ2 \sin \theta \cos \theta	없음
cos⁡(2θ)\cos(2\theta)	cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos^2 \theta - \sin^2 \theta	2cos⁡2θ−12 \cos^2 \theta - 1, 1−2sin⁡2θ1 - 2 \sin^2 \theta
tan⁡(2θ)\tan(2\theta)	2tan⁡θ1−tan⁡2θ\frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}	조건: tan⁡θ≠±1\tan \theta \ne \pm 1

🔷 6. 활용 예시

삼각방정식 간단히 풀기
반각 공식 유도
삼각함수 그래프 분석
삼각형 넓이나 높이 계산에서 사용

🔷 7. 외우는 팁

사인은 둘이 곱해서 2배:
sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta
코사인은 제곱의 차 또는 변형:
cos⁡(2θ)=cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta
또는
=2cos⁡2θ−1= 2\cos^2 \theta - 1
=1−2sin⁡2θ= 1 - 2\sin^2 \theta
탄젠트는 분수 형태로 암기!
tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}

ㅡ반각의 공식ㅡ

삼각함수의 반각 공식에 대해 자세하고 쉽게 설명드릴게요.
반각 공식은 말 그대로 "어떤 각을 반으로 나눈 삼각함수 값"을 구할 수 있게 해주는 공식입니다. 복잡한 각의 삼각함수 값을 유도하거나 계산할 때 자주 사용돼요.

🔷 1. 반각 공식이란?

어떤 각 θ\theta의 절반인 θ2\frac{\theta}{2}에 대한 삼각함수 값을
cos⁡θ\cos \theta 또는 sin⁡θ\sin \theta 등을 이용해 표현하는 공식입니다.

🔷 2. 반각 공식의 형태

각 삼각함수에 대해 반각 공식은 아래와 같습니다.

📌 사인 반각 공식:

sin⁡(θ2)=±1−cos⁡θ2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}

📌 코사인 반각 공식:

cos⁡(θ2)=±1+cos⁡θ2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}

📌 탄젠트 반각 공식:

tan⁡(θ2)=±1−cos⁡θ1+cos⁡θ=sin⁡θ1+cos⁡θ=1−cos⁡θsin⁡θ\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}

🔷 3. 왜 “±” 부호가 붙나요?

반각 공식에는 ±\pm이 들어갑니다. 이유는:

삼각함수의 부호는 각의 위치(사분면)에 따라 달라지기 때문입니다.

예를 들어:

θ=120∘\theta = 120^\circ일 때, θ2=60∘\frac{\theta}{2} = 60^\circ: 1사분면 → 양수
θ=300∘\theta = 300^\circ일 때, θ2=150∘\frac{\theta}{2} = 150^\circ: 2사분면 → 사인: +, 코사인: −

그래서 각도가 어떤 사분면에 있는지를 보고 ±\pm 부호를 정해줘야 합니다.

🔷 4. 반각 공식의 유도

반각 공식은 배각 공식에서 유도할 수 있어요.

예:
배각 공식 중

cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha

를 변형하면:

sin⁡2α=1−cos⁡2α2\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}

이때 α=θ2\alpha = \frac{\theta}{2} 라고 놓으면:

sin⁡2(θ2)=1−cos⁡θ2⇒sin⁡(θ2)=±1−cos⁡θ2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos \theta}{2} \Rightarrow \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}

같은 방식으로 코사인, 탄젠트 반각 공식도 유도할 수 있어요.

🔷 5. 예제: 반각 공식 활용

예제: sin⁡(22.5∘)\sin(22.5^\circ) 구하기

→ 22.5∘=45∘222.5^\circ = \frac{45^\circ}{2}

sin⁡(45∘2)=1−cos⁡45∘2=1−222=2−24=2−22\sin\left(\frac{45^\circ}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos 45^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}

복잡해 보여도, 이런 값을 간접적으로 정확하게 계산할 수 있다는 게 핵심이에요.

🔷 6. 실전 팁 요약

함수반각 공식

sin⁡(θ2)\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)	±1−cos⁡θ2\pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}
cos⁡(θ2)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)	±1+cos⁡θ2\pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}
tan⁡(θ2)\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)	±1−cos⁡θ1+cos⁡θ\pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} 또는 sin⁡θ1+cos⁡θ\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}

"±" 부호는 사분면 판단해서 결정!
배각 공식을 변형해서 유도 가능
복잡한 각도 계산, 삼각방정식 해법에 자주 활용

ㅡ삼각함수의 덧셈정리ㅡ

삼각함수의 덧셈정리는 삼각함수의 각이 두 개일 때의 합 또는 차를 표현하는 공식이에요. 이 정리는 수학, 물리학, 공학 등에서 매우 중요한 역할을 합니다.

아래에서 개념과 유도과정, 그리고 활용까지 자세히 설명드릴게요.

🔷 1. 삼각함수의 덧셈정리란?

삼각함수의 덧셈정리는 다음 4가지 주요 공식을 말합니다:

sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡bsin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡bcos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡bcos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\begin{align*} \sin(a + b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b \\ \sin(a - b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b \\ \cos(a + b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b \\ \cos(a - b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b \end{align*}

🔷 2. 각 공식의 의미 요약

덧셈정리공식뜻

sin⁡(a±b)\sin(a \pm b)	sin⁡acos⁡b±cos⁡asin⁡b\sin a \cos b \pm \cos a \sin b	사인 두 각의 합/차
cos⁡(a±b)\cos(a \pm b)	cos⁡acos⁡b∓sin⁡asin⁡b\cos a \cos b \mp \sin a \sin b	코사인 두 각의 합/차

사인은 부호 유지 (덧셈이면 +, 뺄셈이면 −),
코사인은 부호 반대 (덧셈이면 −, 뺄셈이면 +)

🔷 3. 도식적 이해 (간단한 설명 방식)

삼각함수는 원래 원의 각도와 관련 있어요. 두 각 aa와 bb의 삼각함수 값을 구할 때, 각도를 따로따로 계산해서 조합하면 효율적인 계산이 가능해져요.

예를 들어:

sin⁡(75∘)\sin(75^\circ) 같은 각은 직접 구하기 어렵지만
sin⁡(45∘+30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘\sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ 이렇게 바꿔 계산하면 가능

🔷 4. 예시로 이해하기

예시 1: sin⁡(75∘)\sin(75^\circ) 구하기

sin⁡(75∘)=sin⁡(45∘+30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘=22⋅32+22⋅12=6+24\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) \\ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

🔷 5. 덧셈정리의 활용

📌 활용 예시들:

각을 나누거나 합쳐서 계산:
sin⁡(15∘)=sin⁡(45∘−30∘)\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) 식으로 계산 가능
삼각 방정식 풀기:
복잡한 삼각 방정식을 간단한 각으로 바꿔서 해결 가능
그래프와 파동 계산:
물리학에서 진동, 전파 등 파형의 합성을 위해 사용

🔷 6. 유도 과정(선택적으로 보기)

고등 수학에서 벡터나 복소수를 이용하여 유도할 수 있습니다. 대표적인 방법:

단위원의 성질
삼각형과 직각삼각형의 성질
복소수를 이용한 오일러 공식 eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta

(유도 과정이 필요하시면 따로 설명드릴 수 있어요.)

🔷 7. 외우는 팁!

사인 덧셈 공식

사 + 사코 + 코사
sin⁡(a±b)=sin⁡acos⁡b±cos⁡asin⁡b\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b

코사인 덧셈 공식

코 - 코코 - 사사 (덧셈이면 빼기!)
cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b

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