고등수학 확률과 통계 개념 및 공식

수능 수학의 선택 과목 중 하나인 확률과 통계는 자료 해석, 경우의 수, 확률, 통계적 추정에 대한 개념을 다루며, 실제적이고 계산 중심의 문제 유형이 많습니다. 아래에 단원별로 모든 개념과 공식을 자세하고 체계적으로 정리해드릴게요.

 

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고등수학 미적분 개념 및 공식3(부정적분, 정적분, 정적분의 정의, 구분구적법, 부분적분 및 치환

 

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고등수학 기하와 벡터 개념 및 공식

 

🎯 Ⅰ. 경우의 수

✅ 1. 순열 (Permutation)

• 의미: **서로 다른 n개 중에서 r개를 뽑아 ** ‘줄 세우는’ 방법의 수
• 공식:
  P(n,r)=nPr=n!(n−r)!P(n, r) = nPr = \frac{n!}{(n - r)!}P(n,r)=nPr=(n−r)!n!​
• 전부 나열할 때:
  n!n!n!
  예: 3명을 줄 세우는 경우 → 3!=63! = 63!=6

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✅ 2. 중복 순열

• n개 중에서 중복을 허용하며 r개를 줄 세우는 경우
  nrn^rnr
  예: 숫자 0~9로 4자리 비밀번호 → 104=10,00010^4 = 10,000104=10,000

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✅ 3. 조합 (Combination)

• 의미: n개 중에서 r개를 고르는 방법의 수 (순서 없음)
• 공식:
  C(n,r)=nCr=n!r!(n−r)!C(n, r) = nCr = \frac{n!}{r!(n - r)!}C(n,r)=nCr=r!(n−r)!n!​

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✅ 4. 중복 조합

• 같은 것을 여러 번 고를 수 있음, 순서 없음
• 공식:
  nHr=C(n+r−1,r)nHr = C(n + r - 1, r)nHr=C(n+r−1,r)

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✅ 5. 포함-배제 원리

• 두 집합 A, B:
  ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣
• 세 집합 A, B, C:
  ∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣B∩C∣−∣C∩A∣+∣A∩B∩C∣|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + |A \cap B \cap C|∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣B∩C∣−∣C∩A∣+∣A∩B∩C∣

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🎲 Ⅱ. 확률

✅ 1. 확률의 정의

• 전체 경우 수: n(S)n(S)n(S), 원하는 경우 수: n(A)n(A)n(A)
  P(A)=n(A)n(S)P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}P(A)=n(S)n(A)​
• 확률의 기본 성질
  • 0≤P(A)≤10 \leq P(A) \leq 10≤P(A)≤1
  • 전체 사건의 확률: P(S)=1P(S) = 1P(S)=1
  • 여사건: P(A′)=1−P(A)P(A') = 1 - P(A)P(A′)=1−P(A)

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✅ 2. 덧셈 법칙

• P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

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✅ 3. 조건부 확률

• 사건 B가 일어났을 때 A가 일어날 확률
  P(A∣B)=P(A∩B)P(B)(P(B)>0)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)P(A∣B)=P(B)P(A∩B)​(P(B)>0)

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✅ 4. 곱의 법칙 (곱셈 정리)

• 두 사건 A, B가 모두 일어날 확률
  P(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A)=P(B)⋅P(A∣B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)P(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A)=P(B)⋅P(A∣B)

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✅ 5. 독립 사건

• 한 사건의 발생이 다른 사건에 영향을 주지 않음
  P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)P(A∩B)=P(A)⋅P(B)

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✅ 6. 배반 사건

• 동시에 일어날 수 없음 → P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0P(A∩B)=0

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✅ 7. 전체 확률의 법칙

• 사건 A1,A2,...,AnA_1, A_2, ..., A_nA1​,A2​,...,An​이 전체를 이루고 서로 배반일 때
  P(B)=∑i=1nP(Ai)⋅P(B∣Ai)P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P(B | A_i)P(B)=∑i=1n​P(Ai​)⋅P(B∣Ai​)

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✅ 8. 베이즈 정리

• 조건부 확률 역전 공식
  P(Ai∣B)=P(Ai)⋅P(B∣Ai)∑j=1nP(Aj)⋅P(B∣Aj)P(A_i | B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B | A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A_j) \cdot P(B | A_j)}P(Ai​∣B)=∑j=1n​P(Aj​)⋅P(B∣Aj​)P(Ai​)⋅P(B∣Ai​)​

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📊 Ⅲ. 통계

✅ 1. 평균 (산술평균)

• 자료 x1,x2,...,xnx_1, x_2, ..., x_nx1​,x2​,...,xn​의 평균
  xˉ=x1+x2+...+xnn\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}xˉ=nx1​+x2​+...+xn​​

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✅ 2. 분산

• 정의: 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타냄
  분산=1n∑i=1n(xi−xˉ)2\text{분산} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2분산=n1​∑i=1n​(xi​−xˉ)2
  =1n∑xi2−(xˉ)2= \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2=n1​∑xi2​−(xˉ)2 (공식형)

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✅ 3. 표준편차

• 분산의 제곱근
  σ=분산\sigma = \sqrt{\text{분산}}σ=분산​

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✅ 4. 확률변수의 평균과 분산

• 평균 (기댓값):
  E(X)=∑xi⋅P(xi)E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)E(X)=∑xi​⋅P(xi​)
• 분산:
  Var(X)=E(X2)−(E(X))2Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2Var(X)=E(X2)−(E(X))2

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🧪 Ⅳ. 통계적 추정

✅ 1. 모집단과 표본

• 모집단: 전체 집단
• 표본: 일부 집단

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✅ 2. 표본평균의 분포

• 모집단의 평균: μ\muμ, 표준편차: σ\sigmaσ, 표본의 크기: n
• 표본평균의 평균: μ\muμ
• 표본평균의 표준편차: σn\frac{\sigma}{\sqrt{n}}n​σ​

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✅ 3. 신뢰구간

• 평균 μ\muμ에 대한 신뢰구간 (모표준편차 σ\sigmaσ를 알고 있음)
  xˉ−z⋅σn<μ<xˉ+z⋅σn\bar{x} - z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{x} + z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}xˉ−z⋅n​σ​<μ<xˉ+z⋅n​σ​
• 95% 신뢰구간: z≈1.96z \approx 1.96z≈1.96

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📌 자주 나오는 유형 키워드 요약

주제자주 나오는 문제 유형

경우의 수	중복, 나눠 고르기, 자리 배치
확률	조건부 확률, 독립/배반 판별
통계	분산·표준편차 계산, 자료 해석
추정	신뢰구간 계산, 평균 비교